Этот способ весьма распространен и состоит в том, чтобы преобразовать исходное уравнение к виду F(f(х)) =0, где F(t) – некоторый многочлен, а f(х) – одна из тригонометрических функций. Требуется с помощью тригонометрических тождеств выразить все тригонометрические функции, участвующие в рассматриваемом уравнении, через одну какую-нибудь простейшую тригонометрическую функцию. Приведем примеры.
Пример1. Решить уравнение 2соs2 х + 5sin х -4 =0
Решение. Если cos2х=1-sin2х, то уравнение приводится к квадратному уравнению относительно sin х:
2(1- sin2х) + 5sinх-4 = 0,
раскрываем скобки, переносим все в левую часть, получим
2 sin2х - 5sinх+2 = 0,
заменим sin х = y, уравнение примет вид
2y2 - 5y + 2 = 0.
Это уравнение является квадратным. Находим корни уравнения:
;
.
Так как у=sinх, то
или
Тогда:
,
sinх=2 не имеет решения, так как ½ sinх½ £ 1.
Ответ:
Пример2. Решить уравнение соs4 х - sin 4х= sin х
Решение. Представим левую часть уравнения как разность квадратов, получим:
(соs2 х + sin2 х)( соs2 х - sin2 х) = sin х;
учитывая, что
соs2 х + sin2 х=1, а соs2 х - sin2 х = 1-2 sin2х,
подставим в исходное уравнение.
Теперь уравнение принимает вид:
1 - 2 sin2 х – sin х = 0 или 2 sin2 х + sin х -1 = 0.
Если заменить sin х = у, получим квадратное уравнение вида:
2у2 + у – 1 = 0.
Находим корни квадратного уравнения
Получим:
Объединив эти решения, получим
Полученные корни уравнения нанесены на рисунок 2, что позволяет наглядно увидеть результат решения, которое можно выразить следующим образом
Такая запись является более короткой формой преставления корней решения уравнения.
Ответ:
Пример3. Решить уравнение 6tg х + 5сtg3х = tg 2х
Решение. ОДЗ: соsх¹ 0; sin3х¹ 0; соs2х¹ 0.
Запишем уравнение в виде 5tg х + 5сtg3х = tg 2х- tg х и подставим в него
,
,
получим:
.
Приводим к общему знаменателю обе части уравнения :
Числитель левой части уравнения можно представить как косинус суммы двух углов, а числитель правой части – как синус разности двух углов:
,
или
,
5соs22х= sinх ×sin3х.
Представим правую часть уравнения в виде полу разности косинусов, получим:
5соs22х=1/2 (соs2х–cos4х) ,
умножим обе части равенства на 2 и перенесем все в левую часть :
10соs22х - соs2х + cos 4х = 0,
соs4х представим как косинус двойного угла:
10соs22х-соs2х+(2cos22х-1)=0, отсюда 12соs22х-соs2х-1=0,
заменим соs2х=у, получим квадратное уравнение вида 12у2 – у – 1 = 0, находим корни :
,
,
подставив вместо у=соs2х, получим:
Оба корня входят в ОДЗ.
Ответ :
